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フィボナッチ比率を作るものは何ですか

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プログラミング問題を作るエンジニアが、数学的な面白いアルゴリズムを紹介してみた


Photo by フィボナッチ比率を作るものは何ですか Alex Graves
秋山です。

■数列のアルゴリズム(フィボナッチ数、黄金比)

数字が 1,2,3,4,5,6. 100 というように、最初の1から順に1ずつ増えていくというのも、ある意味アルゴリズムにのっとった数列であると言えます。

フィボナッチ数列とは、 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21. と続く、要は「前の2つの数字を足したもの」の数列で、アルゴリズムを考える上でのいろんな要素が詰まっています。

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Photo by Marcel Sigg

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黄金比とは
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(1:1.6180……)になる比のことです。

これがフィボナッチ数列とどう関係あるかというと、例えば 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21. の8番目の 21 を 7番目の 13 で割ると、 1.61538461538 という、黄金比の近似値を求めることができます。もっと数列を進めれば、隣同時の比も、どんどん黄金比に近づいてきます。フィボナッチ数列で隣り合う数の比は、黄金比に収束するんですね。

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相場と数という曖昧なタイトルではありますが、円相場ひとつ取っても、 今年最初の111.11というゾロ目のレート ではある程度まとまった売りが出たはずです。これは、初物とゾロ目であるという点がトレーダーに売っておこうという気にさせる理由です。実際にこうした数字にまつわるテーマは相場とは 切り離せない ものと言えるでしょう。

数学的な話となると、 金融計算では平方根(√)、対数(log)といった要素は各所で見られます。 オプションの計算式で有名なブラック・ショールズ式の基本である ヨーロピアン・コールのオプション価格を求める式には√もlogも含まれています。 こうした要素も意外と気付かずに使っていたりするものです。

フィボナッチ・リトレースメント

値幅観測において最も使われているツールだと思われますが、 フィボナッチ・リトレースメントを初期状態で表示 すると以下のような表示(色のみ青に変更)です。

これでも良いのですが、 別の比を加えたい 、その 水準のレートを具体的に知りたい という場合にはプロパティを開いて変更します。

上記の例では、 78.6%と127.2% フィボナッチ比率を作るものは何ですか を追加し、すべての説明の横に ” %$”(スペース+パーセント+ドル)を付記 しています。この状態で表示してみましょう。

0.786というのは0.618の平方根 、 1.272というのは1.618の平方根 です。ここでは平方根が登場しましたが、フィボナッチ比にはもともと平方根が内包されています。一例として、 2.618の平方根を計算すると1.618 となります。そこで、1.618の平方根といった考え方が出てきますが、 0.618の平方根である0.786は結構重要で、61.8%戻しを抜けてきた場合のターゲットとして78.6%戻しはよく効くものです。

黄金分割比と貴金属比

黄金分割比(黄金比) というのは 0.618、1.618といった数字 で示され、フィボナッチ数列間の比率として、また建築や美術において 美しいと感じる比率 というあたりは皆さんもご存じの通りです。

この黄金比は、 1.618-0.618=1と逆数との差が1 となっていることも見ればわかりますが、このような比を持つ数字を数学では 貴金属比 と呼び、黄金比はその 貴金属比の1番目の比率、第1貴金属数 でもあります。では、2番目はというと 白銀比 という比があります。これは、 2.414と0.414でその差が2 フィボナッチ比率を作るものは何ですか です。同様に 差が3となる比を青銅比と呼び、3.303-0.303=3とその差が整数で示されます。

(-n+√n 2 +4)/2

これらの比率が相場で使えるかどうかは、これまで検証している市場参加者が少ないため、何とも言えないのですが、黄金比が比率的な美しさから相場においても使われている面があり、そうであるとするならば 貴金属比の中でも白銀費比は使える可能性 フィボナッチ比率を作るものは何ですか があります。

もともと白銀比は日本人がバランス的に美しいと感じる比でもあります。我々が普段使う用紙にもっとも使われるA4をはじめ、各種A判とB判がありますが、この規格こそが 白銀長方形と呼ばれる白銀比(1:1+√2) で す。古くは法隆寺の建築等にも白銀比が見られることから大和比とも呼ばれますが、デザインの分野では現在でも多くのものに利用され、 Googleのロゴも白銀比 です。

そうであるとすれば、0.414とか2.414といった比率をフィボナッチ・リトレースメントやフィボナッチ・エクスパンションに使うことも悪くないのではと思えます。 フィボナッチ・リトレースメントに白銀比の0.414を追加して他と区別するにはプロパティを以下 のようにすればよいですね。コメントを付けておけば、後から何だったかもわかります。

ただ、実際に使ってみると 0.414は0.382にかなり近い ですし、2.414も2.618に近いため、よほどピタリというレートでも無い限り、効いているのかどうかは確認しにくいというのが個人的な感覚です。おそらく、ほとんどの場合0.382に近いという感じになってしまうのでしょうが、 発想を変えて0.382を0.414に置き換える ということもありだとは思います。

それ以外の比率

他の比率として貴金属比ではありませんが、比較的有名な比率に白金比というものがあり、こちらは1:1.732となっていて、1.618にかなり近い数字です。フィボナッチ比だけで考えた方が楽ですし説明しやすいとは思いますが、世の中には色々な比率が存在します。何か、面白いかもしれないと思ったら MT4のよいところは柔軟性の高さ です。

比率に限らずパラメータにおいても何の数字を使うのか、相場に関わっている限り数との付き合いは続きますが、 思いついたらすぐに試してみる 、これを繰り返しているうちに 大発見 があるかもしれません。

上記の画像の太い線の長方形が、1:1.618の比率です。そのほかにごにょごにょした螺旋が見えますが、これは、黄金螺旋(Golden spirals)というものです。この螺旋は、ひまわりの種の配列や巻き貝の渦の中にもみることができます。倍化した黄金比の長方形をくっつけていくとできる螺旋です。この倍化という行為には、フィボナッチの数列が背景にあります。フィボナッチは、イタリアの数学者で、こんな感じの人。

画像3

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21……

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白銀比とは

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「正統の茶室の広さは四畳半、十尺四方で、『維摩経(ゆいまきょう)』の一節によって定められている。

茶の本 日本の目覚め 東洋の理想―岡倉天心コレクション (ちくま学芸文庫)

茶の本 日本の目覚め 東洋の理想―岡倉天心コレクション (ちくま学芸文庫)

岡倉天心の『茶の本』は英語で書かれたもので、十尺四方は、ten feet squareと書かれています。十尺四方は、方丈とも書かれます。先の千利休の二畳敷きからすると四畳半ってどういうこと?ってなるかもですが、正解はこれ。

黄金比を使ってロゴデザインをしてみよう

これで準備は完了です。

実際に作ってみよう

これが完成図です。曲線部分だけでなく、空白にも取り入れました。

ロゴデザインに黄金比を取り入れる方法

①曲線を調整する

②全体のレイアウトに使う

③空白の調整に使う


要素間の間隔など空白の大きさを調整するために用いた例です。

いかがでしたか?
美しいとされる比率には他にも白銀比や青銅比などありますが、今回は中でも一番有名である黄金比をピックアップし、実際のロゴデザインへの取り入れ方を紹介してみました。
ロゴデザインをしていく上では様々な制約があるので、必ずしもこのような比率を用いることがベストというわけではないかもしれません。しかし、最終工程として全体の調和を保つために取り入れることで、より美しいデザインに仕上げることができるのではないでしょうか。

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